数式エディタ
私のFml2TeXサービスをブログや掲示板で使用するためには、imgタグやWikiタグを全て、
手で書かなくてはならないし、ちゃんと思った式として表示されるか、確認がわずらわしいので
「数式エディタ」http://www.geocities.jp/rhcpf907/kafukaediter/
を作りました。
この 数式エディタ は、Fml2TeXの形式
つまり、∫や∂などの全角混じりの「文字の数式」を入力すれば、あとは１タッチで表示や、
imgタグや Wikiタグが付加されたものが、クリップボードに入れられます。
また、TeX形式でも得ることもできます。
尚、Fml2TeXサービス とは、、、
ブログや掲示板に置かれた∫や∂などの全角混じりの「文字の数式」を画像表示するための
CGIサービスで、 どなたでも利用できます。（ただし無保証）
このサービスを利用すれば、一々、LaTeXエディタや数式エディタを使わずに数式が書け、
その上、Gif変換を必要としないため、一旦Upしたブログや掲示板の記事に表示された数式の
訂正も容易です。 （数式はタグの中の文字列ですから）
もちろん、TeXの記述もそのまま書けますので、TeXに詳しい方は、より美しく、
数式の表示ができます。
現在、Yahoo、Hatena、Goo、Libdoor、Ameba、Cocolog、Biglobe(Webry)の各ブログでの
動作が確認済みです。
詳しくは、http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62474900.html
で、このFml2TeX 用数式エディタですが、
今回、Maxima数式、OpenOffice数式を、Fml2TeXの形式に変換する機能を追加しました。
また、Fml2TeX形式は、TeX文法と互換が一応あるのですが、数式の先頭に ￥TeX を付加することで、
完全互換をとるようにしました。
（￥TeXがあると、www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi を呼び出すわけです）
今は、Maxima数式、OpenOffice数式を、Fml2TeXの形式に変換する一方通行なので、
逆に、
Fml2TeX形式から、OpenOffice数式、Maxima数式 への逆変換の機能も付ける予定です。
数式表示CGIサービス（Fml2TeX）のご案内
このサービスは、TeXを知らなくても、全角記号の∫や∂で書いた数式を表示するためのサービスです。
以下のサンプルのように、CGI呼び出しに「数式」を入れるだけで、OKです。
数式は、TeXでもそのまま書けます（HTML文法と かち合わない範囲で）
これのメリットは、、、
一々、ブログ記事を書くとき、直接 式を打てるので、gif等に変換して、UpLoad しなくても済むし、訂正するのも、書いた式を直せばいいだけです。
また、
Web数式エディタ（例えば http://www.codecogs.com の
http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php ）
と比べて、
ブログ本文の作成と数式エディタを往ったり来たりせねばならず、その毎に、思考が中断されます。
で、イラがきて、partialとか、直接 打ちたくなります。
だったら、初めから∂と打てればいい、というわけです。
もちろん、全角の∫とか∂を使わず、TeX文法で直接書くこともできます。
直接書く場合の文法は、以下を参考にして下さい（mimetex.cgi互換）
http://meta.wikimedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%97:%E6%95%B0%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%9B%B8%E3%81%8D%E6%96%B9
サンプル：
＜img src="ｈttp://rhcpf907.ec-net.jp/fml2tex/?式 F（k）=∫_{-∞}^{+∞}f（x）e^{-ikx}dx" ＞
＜img src="ｈttp://rhcpf907.ec-net.jp/fml2tex/?式 {∂^2f（x）／∂x^2}=f”（x）=0" ＞
＜img src="ｈttp://rhcpf907.ec-net.jp/fml2tex/?式 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}^†" ＞
尚、上記のCGI呼び出しを生成するWebツールもあります。
http://www.geocities.jp/rhcpf907/kafukaediter/
このツールを使えば、HTML文法と かち合わないよう、自動的に変換されます。
ここから数学（超準解析もどき）
時間ｔの関数f(t) を考えます。距離ｘ＝f(t) とします。
短いΔｔ時間に進んだ距離をΔｘとします。
Δｔ→０では、Δｘ→０で ｘ＋Δｘは →ｘ です。
（ ＝ｘ ではありません）
これは、Δｘ→０で ｘ＋Δｘ＝ｘ＋dx と書けます。
（ ＝ｘ であれば、こうは書けない）
同様に、
Δｔ→０で ｔ＋Δｔは →ｔ です。
（ ＝ｔ ではありません）
これは、Δｔ→０で ｔ＋Δｔ＝ｔ＋dt と書けます。
で、
dx÷dt＝｛（ｘ＋dx）ーｘ} ÷ dt ＝｛f(t+dt)ーf(t)} ÷ dt
また、ｘ＝f(t) なので、
Δ{f(t)}→０で f(t)＋Δ{f(t)}は →f(t) です。
これは、Δ{f(t)}→０で f(t)＋Δ{f(t)}＝f(t)＋d f(t) と書けます。
したがって、dx÷dtは、
＝
と表せます。
これが、微分です。（めっちゃわかりやすいけど、妖しいなぁ）
超準解析については、おいおい勉強して行きます（上は、生病法です）
時速６０Kmの車は、、、
１分間に１Km、１秒では、16.6666､､､ｍ 進みます。
１ミリ秒では、16.6666､､､mm 進みます。
以上は、すべて同じ意味
時速６０Km を表します。
仮に走った距離と時間から計算しようとすると、
例えば、 １分間に１Km だったら、
１Km÷１分＝６０Km÷１時間＝６０Km/h
とうことです。
実際の運転を考えると、加速・減速があります。
１分間に１Km だったとしても
そのうち ５００ｍを２０秒で走り （時速９０キロ！！）
残り、 ５００ｍは４０秒だったとしても、
白バイは、許してくれません。
「私は、ちゃんと１分間に１Km＝時速６０Kmで走ってます！！」というのは、事実です。
もっと言えば、６秒間（１秒では、16.6666､､､ｍ）＝１００ｍ を、
そのうち ５０ｍを２秒で走り （時速９０キロは同じ）
残り、 ５０ｍは４秒だったとしても、
「まだ、２秒しか走ってません！！」といっても、白バイは、許してくれません。
白バイは、どんなに時間が短くても、許してくれません。
（その原理は、ドップラー効果で、、、、は、省略）
「語りえないことについては人は沈黙せねばならない」
ということでしょうが、
数学にも「語りえないこと」がある
のは、数学万能と思っていた僕には驚きです。
（沈黙せねばならない」のは、おまえの方だ！ と言われそうですね）
ゼノンの矢は２ヶ所にいる
僕は、子供のころ、ゼノンのパラドックスの１つ
「矢は、どの時点でも１点にいる、したがって運動というものは存在しない」
を知ってから、ず〜と悩んでいました。
微分がわかっても（dx/dtが確実な値をもつこと）
何の解決にもなりません。
「ｘにいるか、ｘ＋Δｘにいるかの、どちらか」で、
これは、LimΔｘ→０ でも同じですから。
悩みが解けたのは、１５年くらい前の「サイエンス」の数学の記事
にあったからです。そこには、
「ｘに矢がいる時、ｘ＋dxに矢がいるかどうか、数学では言及できない」とありました。
僕は「運動が存在するともしないとも、数学では言及できない」
と解釈しました。
もちろん、物理では、何の困難もありません。
このパラドックスを「数学だけで」解決してみます。
これを、
LimΔｘ→０「ｘに矢がいる時、ｘ−Δxに矢がいるのか、いないのか？」
とします。
（ｘ−Δx）＝αｘ と置きます。
αは、
０．９９９９９９９、、、 （９がN個）
で、
LimN→∞「ｘに矢がいる時、αｘに矢がいるのか、いないのか？」
これは、当然「いる」です。
何故なら、
LimN→∞ 10α−α＝９α＝９
∴ α＝１
「ｘに矢がいる時、１ｘに矢がいるのか、いないのか？」は「いる」ですよね。
したがって、上記を置き直すと、
LimΔｘ→０「ｘに矢がいる時、ｘ−Δxに矢がいるのか、いないのか？」
は、、
「いる」
です（結論が変わるわけないので）
なんと、
矢は、ｘとｘ−dxの２ヶ所にいる
のです。
尚、LimΔｘ→０ と Δｘ＝０ をごっちゃにしないように。
同じだったら、dｙ/dx が
０/０ になります。
この「違いのわかる男」なら、
「矢は、ｘとｘ−dxの２ヶ所にいる」を納得すると思います。
しかし、
これは、矛盾です。
矢を代表する1点を考えると、この点が、２ヶ所の位置を占めることになるからです。
矛盾としないためには、「ｘ−dxは、実在の点でないので言及しない」
というのが「数学的立場」ということになります。
この命題は、
LimΔｘ→０「連続的に移動しているｘ軸上の点がｘ1にある場合、ｘ1＋Δｘにはない」A
LimΔｘ→０「連続的に移動しているｘ軸上の点がｘ1にある場合、ｘ1＋Δｘにもある」B
で、Aは、0.99999､､､が１である限り否定されます。
Bは、
言及できない＝数学の範疇にない
として、数学から追い出してしまうしかない。
というのが結論です。
まず「運動量」の説明 （先は長〜いなぁ）
その前に「速度」とか「座標」から
そもそも、嫁さんは、速さ ということが、わかっていません。
（何で大学に入れたか、わかりません）
時速80Kmで、白バイにつかまって、
私は、まだ 80Kmも走ってない！！
と言いそうです。
で、時速80Kmでの時間と位置の図を書きました（図は省略します）
その図から、傾き→微分なのですが、
ｘがｔの関数の場合 （例えば、ｘ＝８０Km/h・ｔ）
ｔからΔtだけ時間がたった時のｘを、ｘ＋Δx と置くと、
ｘの傾きは、（ｘ＋Δx)-(x)/Δt＝Δx/Δt で、これの極限を、ｘの（ｔでの）微分というわけです。
数学的には、
です。
上記の例では、
ｘ＝８０Km・ｔ
（ｘ＋Δx)＝８０Km（ｔ＋Δt）
∴（ｘ＋Δx)-(x)/Δt＝（８０Km（ｔ＋Δt）ー８０Km・ｔ）/Δt
＝８０Km （Δtの値に関係ないことに注意）
微分については、Dirac11様がよい記事を書いておられます。
http://blogs.yahoo.co.jp/dirac11/42309141.html
補足すると、Δt→０ の極限というのは、Δt＝０ のことではなく、
LimΔt→０ での「確実な値」で近似値ではない
ということです。
これは、上記の図の「位置の線」が、少々うねっていても「傾き」は「確実な値」が存在する
ことで、理解してもらえるはずなんですが、、、
で「座標」
位置を「確実に表すため」には、東西の数直線、南北の、上下の、それと時刻の数直線
が必要です。
これを、「座標軸」といい、その値を「座標」という
と言ったら、
宇宙空間は曲がっているので「数直線」ではない
なんて言い出しました。
僕は、「相対論は知らんから」と言って逃げましたが、
宇宙空間に「座標軸」は、無数に引けるから「１つだけ＝x,y,z,tだけ」を
考えるのは、おかしい
と、また屁理屈です。
これは、
無数に引けるは、１本も引けないこと ではない。
と、屁理屈で応酬。
１組だけ引けば、他のやつは、平行移動と回転で、表せるわけです。
（ローレンツ変換なんて、僕は知らんからね）
で、やっと「運動量」
速度はベクトルである ということは、後まわし。
（でも、ベクトルはちゃんと教えます。そもそも「状態ベクトル」をやるには、、、）
ここで、難問
力、運動量、運動エネルギーの違いを、言わんといかんなぁ
さっきの図を持ち出して、
運動量は、質量ｘ（位置の線の傾き≡速度）
力は、質量ｘ（速度の線の傾き）
運動量は、力のｔでの積分ですから、それから言うと。
運動エネルギーは、運動量の積分のようですが、そうではないので、さっきの図ではダメです
運動エネルギーは、力のｘでの積分です。
これをdx/dtをｖと置くと、
感じとして、
運動量は、「速さ」ｘ「重さ」 （１ｔの車の100Km/hと10ｔのブルの１０Kmは同じ）
運動エネルギーは、ガソリンの消費量
です。
でも、ガソリンの消費量が、「運動」エネルギーというのが、何か引っかかります。
（嫁さんは、気づきませんでしたが、、、）
単位は合ってますし、１Lで１ｔの車を５Km動かす「エネルギー」でいいのですが、
それを「運動」エネルギーというのは、何か変なような気が、、、
あっ、ガソリンが燃焼した熱エネルギーが、運動のエネルギーに変わったわけですね（納得）
今日は、ここまで。
次は、「位置」を含めて「ベクトル」について。
